книги / Теория инженерного эксперимента

2.4. Определение случайной ошибки измерительной системы

Если известно, что отклонения показаний прибора распределены по нормальному закону и задан один из"по­ казателей точности или г], то можно легко оценить работу прибора в схеме данного эксперимента. В большинстве практических случаев ни один из этих видов информации не задан. Можно попытаться прокалибровать прибор или проверить его точность с помощью известных исход­ ных данных или, что более типично для инженерных экспериментов, приближенно оценить величину случайной ошибки по спецификации фирмы - изготовителя прибо­ ра, путем наблюдения за его работой или основываясь на прошлом опыте использования аналогичных измеритель­ ных приборов. К сожалению, изготовители приборов не провели стандартизации употребляемых ими терминов. Часто можно встретить прибор, на шкале которого ука­ зано, что измеренное значение имеет ошибку, равную плюс — минус несколько процентов деления шкалы. На­ пример, на вольтметре можно прочитать: «±5% во всех диапазонах» либо какую-либо’другую надпись1. В этом случае возникает вопрос, представляют эти 5% среднее квадратическое отклонение или вероятную ошибку. Если имеется в виду среднее квадратическое отклонение, то немногим более 68% отклонений будет находиться в ука­ занном интервале.

В действительности ошибки прибора могут быть рас­ пределены не по нормальному закону, поэтому, даже если среднее квадратическое отклонение и известно, нельзя в точности предсказать, какой именно процент отклонений будет заключен в интервале ±<т. В этом случае проще задавать процент отсчетов, заключенных в некотором интервале, чем путаться в статистической терминологии. Клайн и Макклинток рекомендуют использовать крите­ рий «шансы 20 :Ч» [10]. Этому критерию соответствует область отклонений, охватывающая 95% всех отсчетов.

1 На многих приборах соззршзняо необходимо указывать’о«чо- ситгльную погрешность. Вотьтметр, имеющий ошибку ± 1 ,0 в, по­ жалуй, вполне подойдет для измерений в диапазоне от 0 до 1000 в, но он определенно окажется бесполезным при измерениях малых напряжений от 0]до 10 в [13].

Инженеры, ответственные за закупки приборов, мо­ гут легко представить себе, насколько грубая практика задания технических характеристик измерительных при­ боров преобладает в настоящее время. Фирма-изготови­ тель должна ответить всего на два вопроса. Во-первых, какой процент отсчетов будет находиться в пределах гарантированного интервала1 и, во-вторых, распределены ли показания прибора по нормальному закону.

Часто на приборе вообще не указана его точность. В этом случае при отсутствии квалифицированного спе­ циалиста по измерительным приборам можно воспользо-

Ф и г. 2.6. Шкала типичного недорогого "манометра с наи­ меньшим делением 0,5 кГ/см2 в диапазоне 1,0— 6,0 кГ/см2.

ваться приближенным практическим правилом, которое состоит в следующем: максимальная ошибка равна поло- вине наименьшего деления на шкале прибора. Например, у манометра, изображенного на фиг. 2.6,* половина наи­ меньшего деления составляет 0,5/2 = 0,25 кГ/см2. Можно ожидать, что только в одном случае из двадцати или даже в одном случае из ста отклонение превысит данное значе­ ние. Заметим, что в диапазоне от 0 до 1 кГ/см2 прибор имеет меньшую точность, что характерно для^таких не­ дорогих приборов, как манометры Бурдона.^

При выполнении важного эксперимента или ответст­ венного измерения, когда’необходима более точная оцен­ ка ошибок, следует провести проверку или калибровку прибора. Необходимо получить ответ на следующий важ_

1 Если исследователю необходимо сообщить величину полу­ ченного отсчета и соответствующую неопределенность, то наиболее часто используется такая форма записи: 1104 dr 0,5 в. Обычно в та­ ких случаях указывается вероятная ошибка, поэтому запись в ви­ де ПО ± 0,5 в означает, что половина всех отсчетов заключена в ин­ тервале от 109,5 до 110,5 в, а остальные — за пределами этого интер­ вала [13].

ный вопрос: следуют ли отклонения приближенно нор­ мальному или хотя бы симметричному закону распреде­ ления? Существует множество сложных и изящных ма­ тематических методов, с помощью которых можно полу­ чить ответ на данный вопрос, однако большинство инже­ неров не имеет ни времени, ни вычислительных средств, ни терпения для их применения [9]. Быстрым и простым способом проверки на нормальность является нанесение отклонений на вероятностную бумагу. Это графическая бумага, на которой нормально распределенная совокуп­ ность отсчетов образует прямую линию. Вероятностную бумагу можно легко изготовить самому с помощью стан­ дартной графической бумаги (с линейными шкалами) следующим образом.

По оси х откладываются отклонения; при этом нуль помещается в середине листа и шкала выбирается таким образом, чтобы охватить весь интервал значений имеющих­ ся данных. В середине шкалы по оси у наносится точка, соответствующая 50%. Вниз от нее откладываются восемь равных интервалов в убывающем порядке: 38,8; 27,6; 19,8; 13,6; 7,9; 4,5; 2,4 и 1,2%. Выше точки, соответствую­ щей 50%, откладываются еще восемь одинаковых интер­ валов в возрастающем порядке: 61,2; 72,4; 80,2; 87,4; 92,1; 95,5; 97,6 и 98,8%. Теперь графическая бумага подготовлена для нанесения данных, хотя шкала по оси у не очень удобна (фиг. 2.7). Как будет показано на примере, шкала по оси у представляет процент отсчетов, имеющих отклонение, меныиее данного значения х.

Пример 2.3. Несколько групп студентов определяют твердость по Бринелю на образце, твердость которого известна. Получены следующие отклонения от точного значения диаметра углубления от индентора: одно откло­ нение —0,20 мм; одно отклонение —0,10 мм; четыре отклонения —0,05 мм; 13 нулевых отклонений; семь от­ клонений +0,05 мм; четыре отклонения +0,10 мм и одно отклонение +0,20 мм. Все результаты округлены до 0,05 мм. Распределены ли данные этой выборки по нор­ мальному закону?

Решение. Всего произведено 31 измерение. По этим данным составим таблицу, которая позволила бы нано-

сить их непосредственно на вероятностную бумагу:

L Отклонение	Число отклонений,	Процент отклонений,
	не превышающих	не превышающих
	данного	данного
- 0 , 2 0	1	3,2
—0,15	1	3,2
— 0 ,1 0	2	6,4
—0,05	6	19,4
0	19	61,2
+ 0,05	26	84
+ 0 ,1 0	30	97
+ 0,15	30	97
+ 0 ,2 0	31	100

Данные из первого и третьего столбцов этой таблицы нанесены на график, изображенный на фиг. 2.7. Хотя полученная кривая имеет неправильную форму, она проходит вблизи точки (х = 0, у = 50%), которую должно пересекать любое симметричное распределение, включая нормальное. Заметим, что на концах кривой важную роль играет наличие или отсутствие одной—двух точек. Если пренебречь четырьмя внешними точками, то пять внут­ ренних точек образуют линию, довольно близкую к пря­ мой. Это свидетельствует о том, что рассматриваемая выборка данных является частью бесконечной генераль­ ной совокупности, имеющей нормальное (или близкое к нему) распределение.

Для правильной проверки на нормальность необхо­ димо определенное мастерство и навык. Нас может инте­ ресовать, насколько «прямой» должна^быть линия и на­ сколько близко от центральной точки (х = 0, у = 50%) она должна проходить. Ответ на эти вопросы зависит от прибора, характера эксперимента и числа данных, имею­ щихся для построения графика1. Единственное, что можно

1 Из таблицы значений интеграла вероятности (например, из табл. 2.1) можно легко найти другие или более узкие интервалы для нашей самодельной вероятностной бумаги. Выберем равноудален­ ные значения т|*- Снимем с графика вероятность и разделим ее на 2. Убывающие значения получим путем вычитания из 0,5, а возрастаю­ щие — путем прибавления к каждому значению 0,5. Умножив ре­ зультаты на 100, получим проценты.

отверстия, м м

Ф и г . 2.7. Данные из примера 2.3, нанесенные на вероятностную бумагу. Прямая проведена через пять внутренних точек, внешние точки игнорируются.

здесь сделать, — это указать два очевидных признака отклонения от нормальности, обнаруживаемые с по­ мощью графика, построенного на вероятностной бу­ маге.

Асимметрия распределения имеет место, когда кри­ вая обладает более крутым наклоном в одну сторону отно­ сительно максимума, чем в другую. В случае асимметрич­ ного распределения на вероятностной бумаге можно по­ лучить почти прямую линию, но она никогда не пройдет через центральную точку (х = 0, у = 50%).

В зависимости от того, имеет кривая очень острую или очень пологую вершину, она будет островершинной или плосковершинной. При этих условиях графики на вероят­ ностной бумаге будут выглядеть, как показано на фиг. 2.8. Известны также многие другие отклонения от

Фи г . 2.8. Графики, построенные на вероятностной бумаге для следующих распределений: А — нормальное; В — симметричное распределение, более плосковершинное, чем нормальное; С — сим­ метричное распределение, более островершинное, чем нормальное; D — два асимметричных распределения.

нормальности, которые приводятся во многих книгах по математической статистике [9].

Существует множество сложных проверок распреде­ ления на нормальность, асимметрию, плосковершинность и т. д. Все они довольно утомительны, требуют большого числа данных (до 250 точек для отдельных проверок) и для подавляющего большинства инженерных экспериментов их применение нецелесообразно.

Из этого не следует делать выводы, что 1) применение методов математической статистики возможно лишь в том

случае, когда отклонения показаний прибора распреде­ лены по нормальному закону, 2) среднее квадратическое отклонение и дисперсия не используются как важные и имеющие смысл показатели, если распределение откло­ нений отсчетов отличается от нормального, или 3) можно найти наилучшее значение лишь для приборов с нормаль­ ными отклонениями. Доказательство (или опровержение) того, что случайные ошибки прибора распределены по нормальному закону, часто позволяет по-новому взгля­ нуть на проблему измерений. С помощью прибора, имею­ щего нормальное распределение случайных ошибок, не­ возможно получить более точные отсчеты без его полной переделки, тогда как прибор, для которого характерно распределение с большой асимметрией, или распределе­ ние, отличающееся от нормального в каком-либо ином отношении, возможно, не исправен или неправильно ис­ пользуется.

Рассмотрим пример, когда группа студентов с помощью водомерной рейки замеряет толщину слоя воды- с точ­ ностью до 0,025 мм. График зависимости частоты появле­ ния определенного отсчета от его величины (плотность распределения) выглядит подобно кривой, приведенной на фиг. 2.9, которая имеет два максимума. Можно сразу предположить, что одни студенты вводили водомерную рейку снизу, а другие погружали ее сверху. Таким обра­ зом, обнаружение распределения, отличающегося от нор­

мального, может привести к постановке	важных	вопро­
сов о методах измерения толщины слоя	воды, которые
в противном случае никогда бы и не возникли.		необ­
После определения распределения отклонений

ходимо найти числовые значения показателей точности. Два таких показателя были определены в разд. 2.3. Один из них — среднее квадратическое отклонение s — легко найти с помощью имеющейся выборки данных. Исходя из определения среднего квадратического отклонения, фор­ мулу для этого показателя можно записать, рассматривая конечную выборку отклонений, а не бесконечную гене­ ральную совокупность, как в предыдущем разделе:

(2. 11)

п

Здесь вместо а записано s, так как рассматривается вы­ борка, а не вся совокупность (см. разд. 1.3). Мы видим, что если множество значений пх распределено по нормаль­ ному закону, то величину s можно найти с помощью про­ стых (хотя, возможно, утомительных) вычислений.

Ф и г . 2.9. Возможная плотность распределения, получаемая~при большом числе измерений толщины слоя воды с помощью водомер­ ной рейки. В общем случае форма этих вершин не будет одина­ ковой и не обязательно, чтобы по обе стороны относительно истинного значения находилось одинаковое число отсчетов.

Пример 2.4. По результатам измерения твердости образца, приведенным в примере 2.3, требуется опреде­ лить s и показатель точности выборочных данных при усло­ вии, что генеральная совокупность, из которой взята вы­ борка, действительно имеет нормальное распределение.

Решение. Для решения уравнения (2.11) составим про­ стую таблицу:

X, мм	0,2	0,1	0,05	0
X2	0,04	0,01	0,0025	0
Число измерений	2	5	11	13 (я = 31)
Произведение числа измере-	0,08	0,05	0,0275	0 (Sx2 = 0,1575)
ний на х!

Тогда

5 = -|^0Л575= 0,0745 мм

Из формулы (2.9), записанной для случая выборки, имеем

sh=0,707,

следовательно,

9 4 к М М ' 1 .

ft— 0.0745- У ,4 Ь

На фиг. 2.7 мы показали, что эта выборка отклонений числа твердости от точного значения принадлежит при­ ближенно нормальной совокупности. Если это так, то можно сказать, что ~68% всех значений твердости на этом участке шкалы будет отклоняться от точного значе­ ния не более чем на 0,075 мм. Интервалу 2s почти пол­ ностью соответствует упоминавшийся критерий «шансы 20 : 1». Таким образом, можно ожидать, что для 19 отсче­ тов из 20 отклонения будут находиться в интервале ±0,15 мм.

2.5. «Наилучший» результат выборки

До сих пор молчаливо предполагалось, что известен точный или эталонный отсчет, относительно которого слу­ чайным образом разбросаны результаты измерений, по­ лученные с помощью нашего прибора. Это будет иметь место в том случае, когда новый прибор специально под­ вергается калибровке по известному эталону. Однако во многих экспериментах нецелесообразно или невозможно установить точное значение. Можно измерять диаметр трубы, длину плеча рычага, сопротивление резистора, расход воды через мерное отверстие и производить сотни любых других измерений, не имея точного представления ни об истинном значении измеряемой величины, ни о точ­ ности используемого прибора. Часто проводят измере­ ния с достаточной осторожностью и делают подряд не­ сколько отсчетов, прежде чем перейти к новому значению измеряемой величины. Если второй отсчет существенно отличается от первого, а третий — от каждого из первых

4—168

двух, то для такой осторожности имеются основания. Это случай, когда показания прибора характеризуются большими случайными ошибками1.

Вэтом случае можно задать следующие два вопроса:

1)как получить наилучшую оценку отсчета, имея некото­ рое множество отсчетов, и 2) сколько отдельных отсчетов следует брать? Рассмотрим выборку из п отсчетов, содер­ жащую значения Xi, Х2, Х3, ..., Х„, полученные при по­ вторных измерениях одной и той же величины. Допустим, что эти отсчеты составляют некоторую часть бесконечной нормально распределенной совокупности с неизвестным истинным значением. Отсчет Хх находится в малом ин­ тервале Ах, что показано на фиг. 2.10. Вероятность его появления равна площади небольшого прямоугольника уАх, или математически:

А /\= - £ = Axe~h2 (хс-х'? ,

(2.12)

УЯ

1Либо (о чем уже говорилось) измеряемую величину трудно контролировать. С математической точки зрения в данном разделе несущественно, какой именно случай имеет место.